Trigonometria Básica e Fenômenos Periódicos

Trigonometria  

Para começo de conversa, para entender os fenômenos periódicos precisamos analisar os conceitos de trigonometria e as funções derivadas dela. A trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º, que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela relação entre os ângulos e os lados.

Os estudos iniciais estão relacionados aos povos babilônicos e egípcios, sendo desenvolvidos pelos gregos e indianos. Através da prática, conseguiram criar situações de medição de distâncias inacessíveis. Hiparco de Niceia (190 a.C. – 125 a.C.) foi um astrônomo grego que introduziu a Trigonometria como ciência, por meio de estudos ele implantou as relações existentes entre os elementos do triângulo. O Teorema de Pitágoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos trigonométricos, pois é através dele que desenvolvemos fórmulas teóricas comumente usadas nos cálculos relacionados a situações práticas cotidianas.

Devemos ressaltar que a Trigonometria objetivou a elaboração dos estudos das funções trigonométricas, relacionadas aos ângulos e aos fenômenos periódicos. A partir do século XV, a modernidade dos cálculos criou novas situações teóricas e práticas relacionadas aos estudos dos ângulos e das medidas. Com a criação do Cálculo Diferencial e Integral, pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz, a Trigonometria ganhou moldes definitivos no cenário da Matemática, sendo constantemente empregada em outras ciências, como Medicina, Engenharia, Física (ondulatória, óptica), Química, Geografia, Astronomia, Biologia, Cartografia, Navegação entre outras.

Funções Trigonométricas

Já no círculo trigonométrico temos arcos que realizam mais de uma volta, considerando que o intervalo do círculo é [0, 2π]. Note que o arco dá uma volta completa (2π = 2*180º = 360º), mais um percurso de 1/4 de volta (π/2 = 180º/2 = 90º). Podemos associar o número x = 5π/2 ao ponto P da figura, o qual é imagem também do número π/2. Existem outros infinitos números reais maiores que 2π e que possuem a mesma imagem. Observe:

 9π/2 = 2 voltas e 1/4 de volta

13π/2 = 3 voltas e 1/4 de volta

17π/2 = 4 voltas e 1/4 de volta

Podemos generalizar e escrever todos os arcos com essa característica na seguinte forma: π/2 + 2kπ, onde k Є Z. E de uma forma geral abrangendo todos os arcos com mais de uma volta, x + 2kπ. Estes arcos são representados no plano cartesiano através de funções circulares como: função seno, função cosseno e função tangente.

·         Características da função seno

É uma função f: R → R que associa a cada número real x o seu seno, então f (x) = senx. O sinal da função f (x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. Observe:

Gráfico da função f (x) = senx

·         Características da função cosseno

É uma função f: R → R que associa a cada número real x o seu cosseno, então f (x) = cosx.  O sinal da função f (x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes. Observe:

Gráfico da função f (x) = cosx

·         Características da função tangente

É uma função f: R → R que associa a cada número real x a sua tangente, então f (x) = tgx. Sinais da função tangente:

Ø   Valores positivos nos quadrantes ímpares.

Ø   Valores negativos nos quadrantes pares.

Ø   Crescente em cada valor.

Gráfico da função f (x) = tgx

Fenômenos Periódicos

A partir do que citamos anteriormente podemos compreender e exemplificar o que são tais fenômenos. Chamamos de um fenômeno periódico tudo aquilo que se repete sempre após o mesmo intervalo de tempo. Um exemplo mais simples de um fenômeno de periódico é o dia. O movimento do Sol que aparece pela manhã e se põe no fim da tarde até novamente aparecer de novo. Um outro conceito que ajuda a complementar esse é que os fenômenos periódicos são aqueles que se repetem periodicamente ou seja, a cada período inteiro.

Os fenômenos periódicos podem ser muito úteis para medir a passagem do tempo, além de auxiliar em outros ramos da ciência. Os corpos celestes foram muito importantes para o desenvolvimento deste conceito, pois entre eles há diversos que executam um movimento periódico que são percebidos facilmente; sendo utilizados para construir várias coisas como o nosso calendário, por exemplo. Estando na Terra e olhando para o nosso redor, nós podemos perceber exemplos básicos de trigonometria e consequentemente muitos movimentos periódicos. Os mais fáceis de observar são os movimentos do Sol e da Lua. 

Um outro bom exemplo é a função sen x, como dito anteriormente, pois a cada período de 2π tudo volta a se repetir. A partir daí com mais uma volta completa (2π), vemos todos os valores reaparecem sucessivamente. As fases da lua também, pois a cada 28 dias se repetem, caracterizando um fenômeno físico periódico. Basicamente as funções trigonométricas podem ser modelos matemáticos de vários fenômenos que se repetem como as variações diárias na temperatura da atmosfera terrestre, a pressão sanguínea do coração e o nível de água em uma bacia marítima devido à sua periodicidade. Vale ressaltar que esses fenômenos periódicos também são muito usados em construção de gráficos.

Conclusão

Basicamente fenômenos periódicos são ações que se repetem em intervalos regulares em função duma variável independente de tempo ou espaço ou uma combinação. Logo percebemos que a natureza está repleta de fenômenos periódicos, ou seja, que se repetem cada vez que transcorre um intervalo de tempo determinado (período), temos como exemplo o movimento das marés, da radiação eletromagnética e a própria luz visível. As senoides que são funções trigonométricas também estão classificadas na descrição de alguns fenômenos periódicos.

As aplicações da ciência de Hiparco são inúmeras, desde de auxiliar na engenharia a calcular a movimentação de corpos celestes; agindo intensamente em vários campos de estudo. Vale ressaltar que o principal propagador deste conceito foi o estudo dos astros e a busca pela relação entre os ângulos. Embora não temos tanta noção, a influência da trigonometria e seus conceitos são grande em nosso cotidiano, fazendo dela algo essencial para o compreendimento do nosso planeta.

Referências Bibliográficas:

http://brasilescola.uol.com.br/matematica/trigonometria.htm

http://cursinhopreenem.com.br/matematica/fenomenos-periodicos/

http://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcoes-trigonometricas-1.htm

Realização: Beatriz Araujo, Beatriz Felix, Guilherme Santillo e Lucas Fernando (2ºD)